Резонанс- явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний  системы, когда  частота периодического внешнего воздействия приближается  к некоторым значениям (частотам собственных колебаний системы). В простейших случаях резонанс происходит при приближении частоты внешнего воздействия к одной из тех частот, с которыми происходят собственные колебания системы, возникающие в результате начального толчка.

Рассмотрим действие силы F(t)= F0sin(ωt)  на систему, состоящую из тела на пружине, причем движения тела возможны только вдоль прямой, вдоль оси пружины, силой тяжести и массой пружины пренебрегаем.

 Рис. 1. Тело на пружине может двигаться по горизонтальной плоскости. Координата x выбрана так, что положению равновесия соответствует x=0. Красным цветом выделена вынуждающая сила F(t)=F0sin(ωt), направленная вдоль оси Ox. 

Предположим, что при движении масса испытывает со стороны окружающей среды сопротивление, пропорциональное её скорости v. , т. е. равное c v, где c - коэффициент сопротивления. Тогда уравнение движения массы m при наличии гармонической внешней силы можно записать так: 

где a - ускорение тела массы m, m F0 - амплитуда вынуждающей силы, 

 - угловая частота собственных колебаний,
ω - угловая частота вынуждающей силы, c - коэффициент, определяющий потерю энергии (затухание). Решение этого уравнения может быть представлено в виде суммы двух выражений. Первое соответствует свободным колебаниям системы, возникающим под действием начального толчка, а второе - вынужденным колебаниям с нулевым начальным отклонением. Из-за трения и сопротивления среды собственные колебания в системе всегда затухают, поэтому по истечении большого промежутка времени (тем большего, чем меньше затухание собственных колебаний) в системе останутся одни только вынужденные колебания. Решение, соответствующее этим вынужденным колебаниям, имеет вид:

где A - амплитуда вынужденных колебаний, φ  - фаза вынужденных колебаний. Следовательно, вынужденные колебания представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия;  амплитуда A и фаза φ вынужденных колебаний зависят от  параметров системы. Амплитуда имеет вид:

Рис. 2. График зависимости (1) амплитуда A вынужденных (точнее, отношения A/F0) колебаний от отношения частот ω/ω0.Показаны графики зависимостей для трех значений затухания c =0.01, 0.1, 0.2. 

При очень медленном воздействии (ω ≈ 0) амплитуда смещений равна A≈ F0/k. С увеличением частоты ω амплитуда A растет, т. к. знаменатель в выражении  уменьшается.
Когда ω приближается к значению ω0 (т. е. к значению частоты собственных колебаний при малом их затухании), амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума - это резонанс. Далее с увеличением ω амплитуда колебаний монотонно убывает и при ω >> ω0 стремится к нулю. Амплитуду колебаний при резонансе можно определить, полагая в  ω = ω0. Тогда A= F0/cω0, т. е. амплитуда колебаний при резонансе обратно пропорциональна затуханию c в системе. При увеличении затухания системы резонанс становится всё менее резким, и если затухание очень велико, то резонанс практически не проявляется.

Волной называют процесс распространения в пространстве возмущений плотности, давления или других физических величин, т. е. распространяющийся процесс изменения локальных состояний сплошной среды (или физических полей). Волна переносит энергию и в процессе распространения волны её энергия уменьшается, среда поглощает эту энергию.  Особенно хорошо волны распространяются в средах, которые слабо поглощают энергию волн. 

В пространстве волна описывается функцией u от четырёх аргументов: u=u(x,y,z,t), это - трёхмерные волны. В плоскосте волна описывается функцией u от трёх аргументов: u=u(x,y,t), это - двумерные волны. В волны, распространяющаяся вдоль линии, описывается функцией u от двух аргументов: u=u(x,t), это - одномерные волны. Функции u удовлетворяют уравнениям движения, аналогичным уравнению во втором законе Ньютона,но более сложным. В школьном курсе уравнения движения для волн не рассматриваются, а обсуждаются лишь наиболее простые свойства волн для наиболее простых частных случаев. Часто волну описывают не во всей области её распространения, а лишь там, где она проще. Для описания этих волновых процессов выработана специальная терминология.

Упругие среды выделяются среди остальных тем, что для небольших смещениий (деформации) частиц среды относительно друг друга затрачивается энергия, возникают силы упругости, стремящиеся восстановить первоначальное состояние среды, причём, потери энергии при этом относительно малы.

Примеры волн в упругих средах.

1. Звук - распространение в воздухе возмущения давления и плотности. В обычных условиях распространение звука трудно проследить. Но хорошо известно, что гром слышен позже молнии. Эхо демонстрирует способность звуковых волн отражаться от препятствий.

2. При ударе по одному концу металлического стержня на этом конце образуется местное сжатие, которое затем распространяется вдоль стержня. Форма колокола специально подбирается так, чтобы уменьшить потери в металле и обеспечить эффективное возбуждение звуковых волн.

3. Волны на поверхности воды, вызванные различными причинами - возмущением поверхности воды (удар при падении тела), движением плавающего тела, или ветром. Благодаря тяготению волны на поверхности воды ведут себя как волны в упругой среде - поверхность воды стремится быть плоской.

4. Сейсмические волны. Волна от сильного землетрясения может обогнуть земной шар. Земную кору можно считать упругой средой лишь в некотором приближении.

Распространение одномерной волны постоянной формы в простейшем случае описывается функцией вида

определяющей изменение параметра u среды при распространении  волны слева направо, т. е. в сторону увеличения координаты x, см. рис. При более точном описании реальных волн функция u зависит не только от аргумента t-x/v, но также и от аргументов x и t, но зависимость от этих аргументов слабая.

Скорость v распространения возмущения  называется скоростью волны, см. рис. Она зависит от свойств среды, а в некоторых случаях - и от частоты волны, ее амплитуды (точнее, от величины распространяющегося возмущения). Аргумент функции f в формуле (1) называют фазой волны.

График функции u(x-vt) от x в моменты времени t=0 и t > 0 (выделен красным цветом). , описывающей распространение величины u. В момент времени t=0 величина имеет вид u(x), а в момент времени t аргумент сдвигается: u(x-vt). Это эквивалентно тому, что график перемещается вправо со скоростью v. Так можно представлять себе волну: график функции u(x) перемещается вправо со скоростью v. 

Явление, состоящее в том, что скорость распространения волны зависит от частоты, называютдисперсией скорости. При распространениии волны в среде с дисперсией форма волны искажается. При распространении механических волн частицы среды совершают колебательные движения относительно своих положений равновесия. Волны обычно распространяются от источника. Источник - это область (в пространстве), в которой движущиеся тела генерируют волны. В остальной части пространства волны просто распространяются. Но локализовать источник волн можно не всегда. Например, образование волн на морской поверхности чаще всего связано с ветром, который действует на волны на всей поверхности воды. На распространение морских волн оказывает также действие морское дно, т. е. глубина воды. Хорошо известен вид морских волн вблизи берега. Цунами - это тоже разновидность морских волн, их возникновение может быть вызвано сдвигом морского дна, землетрясением, извержением вулкана.

Волновые процессы могут быть очень сложными, но мы ограничимся простейшими случаями. Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси x со скоростью v и сохраняющую свою форму.   Пусть u(x,t) равно значению параметра u в точке x в момент времени t. Tакая волна описывается выражением вида

которое даёт изменение параметра u среды при распространении  волны со скоростью v слева направо, т. е. в сторону увеличения координаты x. Аргумент функции f в (1) называют фазой волны. 

Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси x со скоростью v и сохраняющую свою форму. Пусть u(x,t) равно значению параметра u в точке x в момент времени t. Tакая волна описывается выражением вида

которое даёт изменение параметра u среды при распространении  волны со скоростью v слева направо, т. е. в сторону увеличения координаты x.

Если при распространении волны параметры среды (например, плотность, смещение частиц, давление и т. п.) изменяются в любой точке пространства по синусоидальному закону, то такие волны называют синусоидальными, или гармоническими. Формула для синусоидальной волны получается заменой в формуле (1) функции f на функцию sin с двумя параметрами A и ω:

Это уравнение гармонической волны. В нём v - скорость волны, A - амплитуда волны, ω - угловая частота, Выражение φ=ωt - kx, аргумент функции sin, называется фазой волны. Заметим, что фаза - это угол, измеряемый в радианах, но значения фазы, отличающиеся на целое число 2Π считаются разными (а такие углы обычно считаются одинаковыми). При сдвиге точки на Δx фаза волны изменяется на Δ φ = kΔx.

  Рис. а) График гармонической волны (2). Красным показана длина волны. б)Графики функции u(x-vt), описывающей распространение гармонической волны (2) для двух фиксированных моментов времени. t=0 и t > 0. Показаны два графика: один (чёрный) - в момент времени t, а другой (красный) - в момент времени t+ Δ t, > 0.
За время Δt волна (и график на рисунке) сдвигается вправо на Δx = vΔt. При изменении времени t график перемещается вправо со скоростью v.

Из периодичности функции sin следует периодичность волны в пространстве. При сдвиге точки на Δx фаза волны изменяется на Δφ = kΔx. Если сдвиг Δx равен 2Π/k, то фаза изменяется на Δ φ=2Π и, следовательно, величина u при таком сдвиге не изменяется. Величину наименьшего сдвига в пространстве, не меняющего значений величины u, называют длиной волны и обычно обозначают λ. Итак, λ = 2Π/k . Аналогично, величину сдвига во времени, при котором u не изменяется, называют периодом и обычно обозначают T. Из этого определения следует T = 2Π ω. 

Введённые величины λ и T связаны простым соотношением: λ = v T. Итак, длина волны λ - это расстояние, на которое волна  распространяется в течение одного периода:

где v - скорость распространения волны,   - частота, T - период колебаний величины u в каждой точке x. Эти формулы относятся к гармоническим волнам, распространяющимся вдоль прямой. 

Волны в пространстве (трёхмерные волны) описываются более сложными формулами. Поверхность, состоящая из точек,в которых волна имеет одинаковую фазу, называется волновой поверхностью  (или фронтом волны).

По форме волновых поверхностей различают волны плоские (плоские волновые поверхности), цилиндрические (цилиндрические волновые поверхности) и сферические (сферические волновые поверхности).

Замечание. Иногда формулу (2) записывают в более общем виде

где ψ0 - начальная фаза, т. е. фаза волны в точке x=0 в момент времени t=0. Начальную фазу всегда можно сделать равной нулю, если изменить или начальную точку системы координат или начальный момент времени. Но начальные фазы важны, если рассматривается несколько волн.

Волновые процессы могут быть очень сложными, но мы ограничимся простейшими случаями. Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси x со скоростью v и сохраняющую свою форму. точке x в момент времени t.Tакая волна описывается выражением вида

которое даёт изменение параметра u среды при распространении  волны со скоростью v слева направо, т. е. в сторону увеличения координаты x. Если при распространении волны параметры среды (например, плотность, смещение частиц, давление и т. п.) изменяются в любой точке пространства по синусоидальному закону, то такие волны называют синусоидальными, или гармоническими. Формула для синусоидальной волны получается заменой в формуле (1) функции f на функцию sin с двумя параметрами A и ω:

Это уравнение гармонической волны. В нём v - скорость волны, A - амплитуда волны, ω - угловая  частота,   -волновое число. Выражение φ=ω t - k x, аргумент функции sin, называется фазой волны. Заметим, что фаза - это угол, измеряемый в радианах, но значения фазы, отличающиеся на целое число 2Π считаются разными (а такие углы обычно считаются одинаковыми). При сдвиге точки на Δx фаза волны изменяется на Δ φ = kΔx.

  Рис. а) График гармонической волны (2). Красным показана длина волны. б)Графики функции u(x-vt), описывающей распространение гармонической волны (2) для двух фиксированных моментов времени. t=0 и t > 0. Показаны два графика: один (чёрный) - в момент времени t, а другой (красный) - в момент времени t+ Δ t, > 0. За время Δt волна (и график на рисунке) сдвигается вправо на Δ x = v Δt. При изменении времени t график перемещается вправо со скоростью v.

Из периодичности функции sin следует периодичность волны в пространстве. При сдвиге точки на Δx фаза волны изменяется на Δφ = k Δx. Если сдвиг Δx равен 2Π/k, то фаза изменяется на  Δ φ= 2Π и, следовательно, величина u при таком сдвиге не изменяется. Величину наименьшего сдвига в пространстве, не меняющего значений величины u, называют длиной волны и обычно обозначают λ. Итак, λ = 2Π/k . Аналогично, величину сдвига во времени, при котором u не изменяется, называют периодом и обычно обозначают T. Из этого определения следует T = 2Π ω. 

Введённые величины λ и T связаны простым соотношением: λ = v T. Итак, длина волны λ - это расстояние, на которое волна  распространяется в течение одного периода:

где v - скорость распространения волны,  - частота, T - период колебаний величины u в каждой точке x. Эти формулы относятся к гармоническим волнам, распространяющимся вдоль прямой.

Волны в пространстве (трёхмерные волны) описываются более сложными формулами. Поверхность, состоящая из точек,в которых волна имеет одинаковую фазу, называется волновой поверхностью  (или фронтом волны). 

По форме волновых поверхностей различают волны плоские (плоские волновые поверхности), цилиндрические (цилиндрические волновые поверхности) и сферические  (сферические волновые поверхности). 

Замечание. Иногда формулу (2) записывают в более общем виде

где ψ0- начальная фаза, т. е. фаза волны в точке x=0 в момент времени t=0. Начальную фазу всегда можно сделать равной нулю, если изменить или начальную точку системы координат или начальный момент времени. Но начальные фазы важны, если рассматривается несколько волн.

Волны - это распространяющиеся в среде изменения состояния среды (возмущения). При распространении волны переносится энергия, но частицы среды в направлении распространения волны при этом не перемещаются, а лишь совершают колебательное движение около положений равновесия.
Например, после прохождения по поверхности жидкости волны, возникшей от брошенного в воду камня,частицы жидкости останутся приблизительно на том же месте, что и до прохождения волн.

Волны могут различаться по тому, как возмущения ориентированы относительно направления их распространения. Выделяют  продольные и  поперечные волны, но бывают и комбинации волн этих типов. Если смещение частиц среды происходит параллельно направлению распространения волны, то волна называется продольной; если смещение частиц происходит в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в жидкостях и газах могут распространяться только в виде продольных волн. В твёрдых телах упругие силы возникают и при сдвиге, поэтому упругие деформации могут распространяться не только в виде продольных волн, но и в виде поперечных волн, а, следовательно, и их комбинации. Волны на поверхности жидкости не являются ни поперечными, ни продольными. Движение частиц воды в поверхностных волнах более сложное.

Если амплитуда смещения частиц при распространении плоской гармонической волны с угловой частотой ω имеет величину u₀, т. е.

то амплитуда колебательной скорости будет иметь значение

а амплитуда ускорения -

Замечание. Вычисляя первую и вторую производные от (1) по времени, можно получить точные формулы соответственно для скорости v и ускорения a частиц среды:

 Волны - это распространяющиеся в среде изменения состояния среды (возмущения). При распространении волны переносится энергия, но частицы среды в направлении распространения волны при этом не перемещаются, а лишь совершают колебательное движение около положений равновесия. 

Например, после прохождения по поверхности жидкости волны, возникшей от брошенного в воду камня,частицы жидкости останутся приблизительно на том же месте, что и до прохождения волн.

Волны могут различаться по тому, как возмущения ориентированы относительно направления их распространения. Выделяют  продольные и  поперечные волны, но бывают и комбинации волн этих типов. Если смещение частиц среды происходит параллельно направлению распространения волны, то волна называется продольной; если смещение частиц происходит в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, то волна называется поперечной.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в жидкостях и газах могут распространяться только в виде продольных волн. В твёрдых телах упругие силы возникают и при сдвиге, поэтому упругие деформации могут распространяться не только в виде продольных волн, но и в виде поперечных волн, а, следовательно, и их комбинации. Волны на поверхности жидкости не являются ни поперечными, ни продольными. Движение частиц воды в поверхностных волнах более сложное.

Если амплитуда смещения частиц при распространении плоской гармонической волны с угловой частотой ω имеет величину u0, т. е. то амплитуда колебательной скорости будет иметь значение

а амплитуда ускорения -

Замечание. Вычисляя первую и вторую производные от (1) по времени, можно получить точные формулы соответственно для скорости v и ускорения a частиц среды: