Рассмотрим физическую систему, находящуюся в устойчивом состояния равновесия. и с малыми потерями энергии. При отклонении системы от состояния равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в состояние покоя,  это и значит, что положение равновесия устойчиво. При выведении системы из состояния равновесия ей сообщают энергию и поэтому, когда система оказывается в положении равновесия, она не может остановиться, т. к. обладает избыточной кинетической энергией. Система проходит через положение равновесия (или около него), отклоняется в другую сторону и это многократно повторяется. В таких случаях говорят, что система совершает колебательное движение (вблизи положения равновесия). Из-за потери энергии система в конце концов возвращается в состояние равновесия. Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда. 

Механическим колебанием называется приблизительно периодически повторяющееся движение. Для колебаний характерно, что колеблющееся тело, например маятник, попеременно смещается то в одну, то в другую сторону. Такие колебания совершает шарик, подвешенный на нити (маятник). Эта системы обладают устойчивым положением равновесия - шарик неподвижен в самой низкой точке. В положением равновесия действующие на тело силы взаимно уравновешены: сила тяжести P, действующая на шарик, уравновешена силой натяжения нити T. При выведении системы из положения равновесия сила P не изменяется, а сила T действует вдоль нити и поэтому не может уравновесить силу P. На шарик начинает действовать сила F=P+T, направленная к положению равновесия. В результате действия  возвращающей силы Fи возникают колебания (см. рис.).

Рис. Сила натяжения T действует вдоль нити, поэтому её направление определяется положением шарика, т. е. углом отклонения α. Величина T силы натяжения T  определяется условием, , т. е. тем, что шарик движется по окружности. ЧастьF' силы F действует по касательной к окружности и изменяет модуль скорости шарика, а другая её часть F-F' направлена вдоль радиуса и искривляет траекторию движения шарика (аналог центростремительной силы). Из прямоугольного треугольника с гипотенузой P и катетом  F' находим F' = P sin(α).

Если отклонить шарик в сторону на угол α и отпустить, то на шарик начнет действовать дополнительная сила F, модуль которой равен F=P sin(α). Эта сила направлена перпендикулярно к нити, и под ее действием шарик с ускорением F/m начнет двигаться, постепенно увеличивая скорость. При этом угол отклонения, а поэтому и сила F, будут уменьшаться. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия (α=0), сила F станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика согласно второму закону Ньютона станет равным нулю. Но к этому моменту скорость шарика уже достигнет некоторого значения. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, он по инерции продолжит двигаться, увеличивая угол отклонения. В результате появляется сила F, замедляющая движение шарика. Величина этой силы, а значит, и ускорения увеличивается с увеличением угла отклонения α. Скорость убывает до тех пор, пока не обратится в нуль, шарик останавливается. После этого шарик с ускорением начнет двигаться в противоположном направлении, т. е. к положению равновесия. С уменьшением угла отклонения α сила F убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль.
Но шарик уже успевает набрать скорость и продолжает двигаться. Это движение приводит к увеличению угла отклонения и к появлению возвращающей силы, направленной к положению равновесия. Движение шарика замедляется до полной остановки при некотором (максимальном) значении угла отклонения, после чего весь процесс повторяется. 

Для того, чтобы описать колебания тела количественно, нужно записать второй закон Ньютона - уравнения движения шарика. Гармонические колебания присходят, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равновесия и её величина пропорциональна смещению, т. е. F=-k x, где x -  вектор смещения из положения равновесия,  k - коэффициент пропорциональности. В этом случае уравнение движения имеет вид

где m - масса, a - ускорение, x - отклонение от положения равновесия,  - угловая частота колебаний. Угловая частота колебаний для малых отклонений шарика определяется соотношением

где g - ускорение свободного падения,  l - длина нити.

Механическими колебаниями называются периодические движения, т. е. движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенные интервалы времени. Для колебаний характерно, что колеблющееся тело, например маятник, попеременно смещается то в одну, то в другую сторону.

 Свободные колебания возникают в системе  после того, как система выведена из положения равновесия. Рассмотрим колебания груза, подвешенного на пружине, см. рис.

а) Несмещённое положение груза P=mg, F=kx0. б) Смещённое положение груза   P=mg, F=k(x+x0). 

Эта система обладают устойчивым положением равновесия (рис. а), шарик находится в точке O. Сила тяжести P, действующая на шарик, уравновешена силой упругости растянутой пружины F,  При выведении системы из положения равновесия  сила  , направлена к точке O.

Если сместить шарик вниз так, чтобы длина пружины увеличилась на x (рис. б), то пружина растянется и  действовующая на шарик сила упругости F увеличится. Модуль силы упругости по закону Гука пропорционален удлинению пружины. Сила F направлена вверх, и под ее действием шарик начнет ускоренно двигаться вверх, постепенно увеличивая скорость. При этом растяжение пружины и сила упругости будут уменьшаться. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия, сумма сил , действующих на него, станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика согласно второму закону Ньютона станет равным нулю. Но к этому моменту шарик уже успеет набрать скорость. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, он продолжит подниматься вверх. Пружина при этом будет сжиматься и появится сила упругости, теперь уже направленная вниз и замедляющая движение шарика. Эта сила, а значит, и направленное вниз ускорение увеличиваются по мере увеличения абсолютного значения растяжения пружины. Скорость убывает до тех пор, пока не обратится в нуль. После этого шарик с ускорением начнет двигаться вниз. С уменьшением смещения модуль силы F убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль. Но шарик уже набрал скорость и поэтому продолжает двигаться вниз. Это движение приводит к дальнейшему растяжению пружины и к появлению силы упругости, направленной вверх. Наконец, шарик останавливается (в крайнем нижнем положении), после чего описанный выше процесс повторяется. Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда.

Однако трение есть, причем сила трения всегда направлена против скорости. Она тормозит движение шарика, и поэтому размах колебаний постепенно уменьшается до тех пор, пока движение не прекратится.

Чтобы описать колебания груза на пружине количественно, запишем второй закон механики Ньютона - произведение массы тела m на ускорение  равно действующей на тело силе :

Гармонические колебания присходят, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению. Уравнение движения имеет вид

где m - масса, a - проекция ускорения шарика на ось Ox, x - отклонение шарика от положения равновесия, x0=P/k - растяжение пружины в положении равновесия шарика, k - коэффициент упругости пружины, ω0 - угловая частота колебаний. Угловая частота колебаний определяется соотношением

где m - масса тела,  k - коэффициент пропорциональности между силой и смещением.

 При рассмотрении колебаний тела, подвешенного на нити, обычно ограничиваются рассмотрением только колебаний в плоскости. Эта модель демонстрирует более сложные колебательные движения не слишком большой амплитуды.

Маленький шарик (материальная точка точка) на невесомой и нерастяжимой нити длиной R движется в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения g (см. рис.). Выберем систему координат: центр O системы координат -  нижняя точка сферы радиуса R с центом в точке S - точке крепления нити, ось Oz направлена вертикально вверх (относительно гравитационного поля), оси Ox и Oy направлены горизонтально. S= (0,0,R)  - точка крепления нити, M(t) = (x(t),y(t),z(t))  -  положение шарика (материальной точки точки) в момент времени t. Точка M лежит на сфере |SM|²=R², или x² + y² +(z-R)² = R². Из уравнения сферы выражаем третью координату . Следовательно, положение шарика вполне определяется двумя координатами x и y. Вместо них положение шарика удобнее задавать двумя углами φ и ψ, через которые выражаются декартовы координаты точки    , где r =O'M = z0 sin(ψ), φ - угол между осью Ox и вектором OM', M' - проекция точки M на координатную плоскость, ψ - угол между осью Oz и нитью. На шарик действуют две силы (сопротивлением пренебрегаем): сила тяжести P=mg= (0,0, -mg) и сила натяжения нити T, направленная вдоль нити, т. е. вдоль прямой MS. Имеем 

Величина T силы T зависит и от положения шарика M, и от вектора скорости v. Она может быть найдена из уравнения 

Уравнения движения, позволяющие найти зависимость углов ψ и φ от времени t, имеют вид:

где a - вектор ускорения точки M, который нужно выразить через скорости и ускорения углов ψ и φ.
 Рис. Маленький шарик, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити. а) Начальное положение M0 и начальная скорость v0 шарика полностью определяют его дальнейшее движение M(t) и, в частности, его траекторию. Синим цветом показана часть траектории, видно, что движение не периодично (траектория не замкнута). Если траектория проходит через нижнюю точку сферы O, то движение происходит в вертикальной плоскости (в этом случае момент импульса шарика равен нулю). Это колебания обычного маятника. б) Ещё один выделенный тип движений этого маятника - движение по окружности. В этом случае скорость v всегда перпендикулярна векторам P и T, а сумма F =P + T - горизонтальна, направлена к прямой OS. Обратите внимание на различные направления вектора F на рис. а и б. 

Чтобы получить движение шарика по окружности необходимо выполнение следующих условий.  

1. Потери энергии должны быть пренебрежимо малы. Иначе радиус окружности будет уменьшаться тем быстрее, чем сильнее потери.

2. Вектор начальной скорости v0 должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через три точки M0, O и S, где M0 - начальное положение шарика.

3. Величина начальной скорости v0 должна удовлетворять уравнению

означающему, что центростремилельная сила (левая часть уравнения) равна результирующей силе F. Здесь ψ0 - угол начального отклонения шарика, m - масса шарика (на неё можно сократить), r=R sin(ψ0) - радиус траектории шарика.

В простейших случае колеблющееся тело, например маятник, последовательно смещается то в одну, то в другую сторону. В более сложных случаях смещения происходят в различных направлениях, на поверхности - в двух, а в пространстве - в трех направлениях. Например, при вращении тела его движение также периодически повторяется, но каждая точка тела движется по своей траектории.

Для сравнения вращательного и колебательного движений рассмотрим равномерное вращение  материальной точки M с массой m вокруг точки O с частотой f. Ее положение в момент времени t показано на рис. а, угол поворота равен φ=ω t, где ω=2Πf - угловая частота вращения. Материальная точка M равномерно движется по окружности с центром в точке O.
Вектор линейной скорости направлен по касательной к этой окружности, модуль линейной скорости равна V=Rω. Центростремительная сила F, заставляющая точку двигаться по окружности, направлена к центру и ее модуль равен F=m R ω², где R - радиус окружности.

 Рис. а) Материальная точка M равномерно движется по окружности радиуса R с центром в точке O, φ = ω t. Показан вектор линейной скорости V и центростремительная сила F.
б) При вращении точки M её проекция My на ось Oy совершает колебательное движение вдоль оси Oy. При этом можно считать, что на точку My действует сила Fy, а точка движется со скоростью Vy и ускорением ay=Fy/m. Пунктирные линии показывают проекции точки M и векторов V и F. Справа показан график зависимости координаты y точки M (и точки My)  от угла поворота φ.
В декартовых координатах x,y с центром в точке O, показанных на рис. 1, имеем (в векторном виде)

или в координатах

Сравнивая силы с координатами, мы видим, что центробежная сила F и радиус-вектор  связаны простым соотношением), а поскольку, F=m a,  то

Если теперь рассмотреть только движение проекции My точки M  на ось Oy,
то уравнение движения точки My будет иметь вид

Т. е. ускорение ay пропорционально (с отрицательным коэффициентом   - ω² ) координате y. А поскольку закон движения точки My при вращении известен, получаем общее решение уравнения (1)

где параметры имеют специальные названия: y0 - амплитуда колебаний, ω - угловая частота колебаний, φ0 - начальная фаза колебаний.

Итак, вращательное и гармоническое колебательное движения тесно связаны и это можно использовать для получения формул, описывающих такие колебания.

Механическими колебаниями называются приблизительно периодические движения, т. е. движения, которые повторяются через определенные интервалы времени.

Выделяют гармонические колебания, которые описываются уравнением где x - отклонение тела от равновесного положения, m - масса тела, a - ускорение, ω - коэффициент пропорциональности, который записывается в виде квадрата, поскольку
     во-первых он должен быть положительным, а во вторых - ω совпадает с угловой частотой колебаний. 

Во многих случаях при малых отклонениях возвращающая сила прямо пропорциональна отклонению с отрицательным коэффициентом. Поэтому их колебания являются гармоническими. При увеличении отклонения зависимость силы от отклонения может отличаться от прямой пропорциональности и в этом случае колебания становятся более сложными.

При гармонических колебаниях координата колеблющегося тела от времени зависит так где A - амплитуда гармонических колебаний, ω - угловая частота колебаний, φ0 - начальная фаза колебаний. Период колебаний T определяется угловой частотой:

   

 Рис. График зависимости (2) координаты колеблющегося тела от времени. Здесь амплитуда A=3, период T=95 и начальная фаза φ0. Начальной фазе φ0 соответствует сдвиг графика влево на φ0/ω.  

Зная начальное положение x0 тела и его начальную скорость v0, можно определить значения амплитуды A колебаний и начальную фазу φ0. Чтобы получить соответствующие формулы, из формулы (2) находим скорость (вычисляя производную по t от (2) )

Подставляя в (1) и (2) значение t=0, получаем

Отсюда можно найти A и  φ0:

Замечание. Вычисляя производную по t от (3), находим ускорение

Подставляя (1) и (4) в уравнение (1) мы получаем тождество. Это доказывает, что функция (2) удовлетворяет уравнению (1). Можно доказать, что и наоборот, всякое решение уравнения (1) имеет вид (2) для некоторых A и φ0.

Рассмотрим колебания математического маятника. Материальная точка M с массой m подвешена на нити длиной l в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g.

Рис. 1.  Математический маятник. Угол φ считается малым и поэтому

а)  Силы и, действующие на материальную точку, выделены красным цветом.
При выводе уравнения движения для малых углов φ сила F считается горизогтальной и пропорциональна  , точнее

б)  График зависимости периода колебаний математического маятника от длины нити. При отклонении на (малый) угол φ возникает возвращающая сила F, равная, как видно из рисунка F=mg+T, где T- сила натяжения нити, используется разложение T=F+N, N=-m g.

Сила F имеет только горизонтальную составляющую, которая равна

где учтено, что из прямоугольного треугольника ABM тангенс tg (φ) =x/AB  и  для малого угла φ приблизительно AB ≈ l. Следовательно, уравнение движения (для малых углов отклонения маятника) принимает вид

Решение этого уравнения можно записать так:    , где x0 - амплитуда колебаний,
  - угловая частота колебаний,  φ0 - начальная фаза колебаний.

Частота и период колебаний записываются так:
В процессе колебаний маятника его кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. В нижней точке потенциальная энергия (после соответствующего выбора константы) равна нулю, а кинетическая - равна K=m v0²/2, где v0 - максимальное значение скорости материальной точки. При отклонении точки M на угол φ (см. рис.) в прямоугольном треугольнике ABM катет AB=l cos(φ). Поэтому длину отрезок OB можно оценить так

где учтено, что

и что для малых углов sin(φ)≈φ и φ≈ x/l. Теперь можно записать потенциальную энергию при отклонении на x (на  угол φ≈ x/l.)Из закона сохранения энергии получаем соотношения между скоростью v(t) и отклонением x(t) и их амплитудными значениями v0 и x0

Колебания, совершаемые телом под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Особый интерес представляют вынужденные колебания в системе, способной совершать свободные колебания. Это система, в которой тело может совершать колебательные движения, если системе сообщить энергию. Частота этих колебаний называется собственной и предполагается, что она не зависит от энергии системы (или амплитуды колебаний). Если такая система возбуждается внешней периодической силой (ее частота не обязательно совпадает с собственной частотой нашей системы), то возникающие в системе колебания называют вынужденными, а действующую силу -вынуждающей.

Рассмотрим тело на пружине, причем движения тела возможны только вдоль прямой, вдоль оси пружины, силой тяжести и массой пружины пренебрегаем.

Тело на пружине может двигаться по горизонтальной плоскости. Координата x выбрана так, что положению равновесия соответствует x=0. Красным цветом выделена вынуждающая сила F(t)=F0sin(ω t), направленная вдоль оси Ox. 
Колебания тела, вызванные воздействием на тело периодической внешней силы, называются вынужденными. Пусть на тело действует сила F(t)=F0sin(ω t). Предположим также, что при движении масса испытывает со стороны окружающей среды сопротивление, пропорциональное её скорости v, т. е. равное c v, где c -коэффициент сопротивления.
Тогда уравнение движения массы m при наличии гармонической вынуждающей силы F имеет вид:

где F0 - амплитуда вынуждающей силы, ω- угловая частота вынуждающей силы, равная 2Π/ T,  T - период внешнего воздействия, a - ускорение тела, k - коэффициент упругости пружины, m - масса тела. Это проекция векторного уравнения на ось Ox.

 Рис. 2. Графики затухающих колебаний

Красным показаны графики амплитуды  (предполагается, что A=0). а) Коэффициент затухания  δ=0.05. б) Коэффициент затухания  δ=0.2.

При затухающих колебаниях смещение (или отклонение от положения равновесия)
можно найти, решая уравнение (1) при F₀=0. Получаем

где положительная величина A называетсяначальной (т. е. при t=0)амплитудой}, δ -коэффициентом затухания,  -мгновенным значением амплитуды, ω -угловой  частотой. e≈ 2,71 - число e, основание натуральных логарифмов. График затухающих колебаний показан на  рис. 2.

Видно, что из-за трения частота колебаний немного уменьшается. При F0≠0 решение уравнения (1) имеет более сложный вид.