Рассмотрим колебания математического маятника. Материальная точка M с массой m подвешена на нити длиной l в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g.

Рис. 1.  Математический маятник. Угол φ считается малым и поэтому

а)  Силы и, действующие на материальную точку, выделены красным цветом.
При выводе уравнения движения для малых углов φ сила F считается горизогтальной и пропорциональна  , точнее

б)  График зависимости периода колебаний математического маятника от длины нити. При отклонении на (малый) угол φ возникает возвращающая сила F, равная, как видно из рисунка F=mg+T, где T- сила натяжения нити, используется разложение T=F+N, N=-m g.

Сила F имеет только горизонтальную составляющую, которая равна

где учтено, что из прямоугольного треугольника ABM тангенс tg (φ) =x/AB  и  для малого угла φ приблизительно AB ≈ l. Следовательно, уравнение движения (для малых углов отклонения маятника) принимает вид

Решение этого уравнения можно записать так:    , где x0 - амплитуда колебаний,
  - угловая частота колебаний,  φ0 - начальная фаза колебаний.

Частота и период колебаний записываются так:
В процессе колебаний маятника его кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. В нижней точке потенциальная энергия (после соответствующего выбора константы) равна нулю, а кинетическая - равна K=m v0²/2, где v0 - максимальное значение скорости материальной точки. При отклонении точки M на угол φ (см. рис.) в прямоугольном треугольнике ABM катет AB=l cos(φ). Поэтому длину отрезок OB можно оценить так

где учтено, что

и что для малых углов sin(φ)≈φ и φ≈ x/l. Теперь можно записать потенциальную энергию при отклонении на x (на  угол φ≈ x/l.)Из закона сохранения энергии получаем соотношения между скоростью v(t) и отклонением x(t) и их амплитудными значениями v0 и x0