Механическими колебаниями называются приблизительно периодические движения, т. е. движения, которые повторяются через определенные интервалы времени.

Выделяют гармонические колебания, которые описываются уравнением где x - отклонение тела от равновесного положения, m - масса тела, a - ускорение, ω - коэффициент пропорциональности, который записывается в виде квадрата, поскольку
     во-первых он должен быть положительным, а во вторых - ω совпадает с угловой частотой колебаний. 

Во многих случаях при малых отклонениях возвращающая сила прямо пропорциональна отклонению с отрицательным коэффициентом. Поэтому их колебания являются гармоническими. При увеличении отклонения зависимость силы от отклонения может отличаться от прямой пропорциональности и в этом случае колебания становятся более сложными.

При гармонических колебаниях координата колеблющегося тела от времени зависит так где A - амплитуда гармонических колебаний, ω - угловая частота колебаний, φ0 - начальная фаза колебаний. Период колебаний T определяется угловой частотой:

   

 Рис. График зависимости (2) координаты колеблющегося тела от времени. Здесь амплитуда A=3, период T=95 и начальная фаза φ0. Начальной фазе φ0 соответствует сдвиг графика влево на φ0/ω.  

Зная начальное положение x0 тела и его начальную скорость v0, можно определить значения амплитуды A колебаний и начальную фазу φ0. Чтобы получить соответствующие формулы, из формулы (2) находим скорость (вычисляя производную по t от (2) )

Подставляя в (1) и (2) значение t=0, получаем

Отсюда можно найти A и  φ0:

Замечание. Вычисляя производную по t от (3), находим ускорение

Подставляя (1) и (4) в уравнение (1) мы получаем тождество. Это доказывает, что функция (2) удовлетворяет уравнению (1). Можно доказать, что и наоборот, всякое решение уравнения (1) имеет вид (2) для некоторых A и φ0.