Движение с изменяющимся вектором скорости движения называется неравномерным. Неравномерное движение характеризуется средней скоростью изменения пути и средней скоростью перемещения. При этом средняя скорость пути не меньше модуля средней скорости перемещения. График движения - это график зависимости координаты тела от времени. График скорости -график зависимости (проекции или модуля) скорости от времени.

Модель демонстрирует движение двух автомобилей (синего и красного) и графики движения и скорости. Средние скорости автомобилей (за все время движения) одинаковы и поэтому они прибывают в пункт назначения одновременно,хотя видно, что движутся автомобили по-разному.

Пусть движение материальной точки определяется заданием ее положения r(t) в каждый момент времени t. Средняя скорость vср за промежуток времени между моментами времени t и t+Δt
равна отношению перемещения Δr = r(t+Δ t) - r(t) к промежутку времени Δt :  

При неравномерном движении вектор средней скорости vср зависит от Δt. Вектор мгновенной скорости v(t) в момент времени t определяется как предел этой средней скорости v(t) при Δt стремящемся к 0. Это значит, что при очень маленьких Δt средняя скорость  vср почти не зависит от Δt. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной, проведенной к траектории в текущей точке.

Модель показывает перемещение движущейся точки, ее среднюю и мгновенную скорости. В пределе, когда приращение времени Δt стремится к нулю, вектор средней скорости стремится к вектору мгновенной скорости. Модель показывает основные величины для различных значений приращения времени в различных точках траектории. В режиме Пауза можно перемещать текущую точку по траектории и менять приращение времени Δt . Можно выбрать один из трех типов движения - общее, по окружности или прямолинейное.

Путь s материальной точки, пройденный за некоторый промежуток времени, равен длине траектории, пройденной за этот промежуток времени. Пусть движение материальной точки определяется заданием ее положения r(t) в каждый момент времени t.  Перемещением материальной точки за данный промежуток времени называют вектор, соединяющий начальное положение точки с ее конечным положением. Точнее, перемещением Δr материальной точки за промежуток времени Δt между моментами времени t и t+Δt  называется вектор Δr, соединяющий ее начальное положение r(t) с конечным r(t+Δ t), ТАК ЧТО

Модуль |Δr| вектора перемещения не может быть больше пройденного за этот же промежуток времени пути s. Это следует из геометрического свойства прямой: отрезок является кратчайшей линией, из всех линий, соединяющих его концы.

Модель демонстрирует различие между путем и модулем перемещения.

Путь 1 это отрезок OA и поэтому всегда s=| Δr | .

Путь 2 состоит из двух катетов OB и BC равнобедренного прямоугольного треугольника OBC.
Поэтому |s| равно сумме длин катетов, т. е. s=|OB|+|BC|, а конечное значение модуля перемещения | Δr | равно длине гипотенузы OC. Поэтому | Δr |=|OC|= s / √2 .

Путь 3 состоит из отрезка OD и криволинейного участка DC . Видно, что  s<|Δr|.

Сравним описания движения тела в двух системах отсчета, неподвижной системе Oxy и движущейся относительно нее системе O'x'y' . Перемещение  Δr движущего тела относительно неподвижной системы отсчета за данный промежуток времени Δt равно сумме его перемещения Δr'  относительно  подвижной системы отсчета и перемещения Δr0 подвижной системы относительно неподвижной за этот же промежуток времени Δt :

 (1) 

Это равенство получается из рассмотрения изменения векторов в равенстве

 (2)

Системы отсчёта и основные векторы показаны на рис. Равенству (1) на этом рисунке соответствует треугольник с вершиной в точке M , вектор r' на рисунке не показан (см. пояснения к модели "Две системы отсчета").

Рис. Две системы отсчёта в моменты времени t и Δt .

Тела отсчёта и системы координат выделены красным цветом для первой системы отсчёта и синим -для второй, часы не показаны. За время Δt вторая система отсчёта переместилас относительно первой на вектор Δr0 . Её положение в момент времени t+\Delta t показано синими штриховыми линиями.

Материальная точка M относительно первой системы за это же время переместилась на вектор Δr '  относительно второй системы отсчёта, а относительно первой - на вектор Δr . Перемещение тела B относительно этих систем отсчета Δr и Δr'  связаны друг с другом законом сложения перемещений (1). Заметим, что векторы Δr и Δr0   показаны красным, т. к. они относятся к первой системе отсчёта, а вектор Δr ' --синим, т. к. он относится ко второй системе отсчёта.

Из сложения перемещений можно вывести закон сложения скоростей, т. к. скорость равна отношению перемещения к величине интервала времени: 

где Δt в случае неравномерного движения должно быть очень малым.

Закон сложения скоростей имеет вид:

 (1)

где v - скорости тела относительно неподвижной системы отсчета,  v1- скорость тела относительно подвижной системы отсчета (воды), v2- скорость подвижной системы отсчета (воды) относительно неподвижной (берега).

Итак, скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна сумме его вектора скорости относительно подвижной системы и вектора скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Модель демонстрирует движение тела (пловца) в текущей воде. Скорость тела (пловца) задается относительно воды, это скорость v1. Тогда скорость v движения тела относительно берега будет равна сумме (1). Следовательно, скорость v движения тела относительно берега равна скорости v1 тела относительно воды плюс скорость v2 течения воды в реке. Скорости v , v1 и v2 показаны соответственно черным, синим и красным векторами.

Модель показывает движение пловца при различных скоростях пловца относительно воды и скорости течения воды.

Положение различных объектов на берегу (дерево и домики) можно изменять. 

На первый взгляд все это кажется простым и совершенно очевидным. Но позже вы узнаете, что этот закон сложения скоростей выполняется лишь приближенно, а для скоростей, сравнимых со скоростью света, применяется другая формула. Стоит продумать ситуацию в более абстрактном изображении, см. рис.

 Рис. Две системы отсчёта. Тела отсчёта и системы координат выделены красным цветом для первой системы отсчёта и синим - для второй, часы не показаны. Вторая система отсчёта движется относительно первой с постоянной скоростью v0 . Материальная точка M относительно первой системы координат движется со скоростью v , а относительно второй - со скоростью v '. Скорости тела M относительно этих систем отсчета v и v1' связаны друг с другом законом сложения скоростей:

(2)

Заметим, что векторы v и v0 показаны красным, т. к. они относятся к первой системе отсчёта, а вектор v1'- синим, т. к. он относится ко второй системе отсчёта. Формула (2) отличается от формулы (1) лишь обозначениями.

Наиболее простым неравномерным движением является движение, при котором скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Такое движение называется равноускоренным. Путь s при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью  пропорционален квадрату времени: 

               (1)

где a- модуль ускорения a, t - время движения.

Модель демонстрирует скатывание тележки по наклонной доске. Для отсчета времени и пройденного пути использована капельница. Линейка позволяет измерять расстояния, между каплями. Движение тележки, если пренебречь несущественными деталями, является равноускоренным. Капли капают через равные промежутки времени Δt и отмечают положения тележки. Пройденный тележкой путь за промежуток времени Δt совпадает с модулем перемещения. Видно, что пути, проходимые капельницей за одинаковые последовательно промежутки времени, пропорциональны последовательным нечётным числам

Действительно, капли падают в моменты времени t_n = nΔt, где n=0, 1,2, ... Пройденный за время t_n путь s(t_n) вычисляем по формуле (1):

Поэтому путь, пройденный за время Δt между падением капель n и n+1 равен

где n=1,2,... Теперь, используя полученное значение s_n, вычисляем отношение

Это отношение равно отношению соседних нечётных чисел.